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当这两个维度均为3，后获化遗从数学的角度来看，这些集合在几何上与整个三维空间相同，它们在某种意义上填满了空间的大部分。另外，造成在处理非粘性情况时，他们引入了粒状化（graininess）理论，这是对集合内部结构的一种描述，它可以帮助理解集合如何在不同尺度上组织。集合𝕋中的管子数量大致为≈𝛿-2，热门并且这些管子的指向是在一个𝛿-分离的集合方向上。

而Hausdorff维度则更精细，旅游它考虑了更细致的覆盖方式，允许使用不同大小和形状的集合来覆盖Kakeya集，并通过这些覆盖的最小化程度来定义维度。然后，景点界文基于K(d)定义下的不等式，景点界文他们计算出了粗管的总体积下限，再结合之前计算粗管总体积的方法和结果，进一步分析出了粗管的一个特殊属性——多重性。

以上说法转换成数学表达式如下：评世使用小尺度参数（0𝛿1），考虑一个由𝛿x𝛿x1的管子组成的集合𝕋。

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